Электронный справочник по математике: по алгебре и геометрии, , , математические . , , , , , , Примеры решения задач: вычислить тройной интеграл, где T - область, ограниченная поверхностью x*x + y*y + z*z = z.
© 2006-2013 ПМ298
Отметим, что расстановку пределов интегрирования для переменной r можно произнести, рассматривая не область τ, а изменение r при фиксированных значениях φ и θ в области T. Наглядно видно, что на каждом луче φ = const, θ = const переменная r изменяется в шаре T от 0 (значение r в начале координат) до cos θ (значение r на сфере).
причем переменная φ изменяется от 0 до 2π, а при каждом значении φ переменная θ изменяется от 0 до π/2. Подставляя выражения (*) в уравнение сферы, получим r2 = r cos θ, откуда r = 0 или r = cos θ. Эти две поверхности в пространстве (r, θ, φ) при 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π/2 ограничивают снизу и сверху область τ (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области T при отображении (*). Якобиан отображения (*) равен r2 sin θ, а подынтегральная функция в сферических координатах равна r. Вычисляя тройной интеграл по области τ с помощью повторного интегрирования, получаем
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, (*)
Однако удобнее перейти к сферическим координатам (r, θ, φ):
Данный тройной интеграл можно вычислить с помощью повторного интегрирования в прямоугольных координатах:
Область T представляет собой шар, ограниченный сферой, уравнение которой удобно записать в виде x2 + y2 + (z - 1/2)2 = 1/4 (см. Рис. 1, а).
Вычислить тройной интеграл , где T - область, ограниченная поверхностью x2 + y2 + z2 = z.
/ /
•
Алфавитный указатель
Cправочник математических формул Примеры и задачи с решениями
Примеры решения задач: вычислить тройной интеграл, где T - область, ограниченная поверхностью x*x + y*y + z*z = z.
Комментариев нет:
Отправить комментарий